Đại số tuyến tính: Ma trận nghịch đảo (UET) – Bài 3 1 AX B A BX      .( 0 ) 11   b  a  b a – StuDocu

Bài 3

1

AX B A BX

  



.( 0 )
11
  b  a  b a 
a a
b
x

AX B X A B     1.

Xét phương trình: a x = b.

Ta có:

Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có

như vậy là ma trận sẽ được định nghĩa như thế nào?

A  1



3 Định nghĩa.

a. Đ/n: Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho

Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A-1.

Như vậy, A-1 = A-1A=En

AB=BA=En



Nhận xét: (1) Ma trận đơn vị En khả nghịch và

(En)-1=En

(2) Ma trận không không khả nghịch vì 

     _._ A A_. ,_ A



b. Tính chất: Cho A, B là các ma trận khả nghịch và một số k≠0. Khi đó, AB, kA và A-1 là các ma trận khả nghịch và

 

 

1 1 1

11

1 1

i) 1 (ii)

(iii) ( )

( AB B A

kA A k A A

  

 

 



c. Ma trận phụ hợp Cho là ma trận vuông cấp n. Ma trận phụ hợp của A, kí hiệu là PA ,được định nghĩa như sau:

A a [ ]ij

11 21 1 12 22 2

1 2

… … … …
 
 
  
 
 
 

n n A

n n nn

A A A
A A A
P
A A A

trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử a ij của ma trận A.



Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:

2 0 0

5 1 0

3 4 1

A

 

  

 

  

A 11  –
A 12  5
A 13  17
A 21  0
A 22  –
A 23  –
A 31  0
A 32  0
A 33  2

11 21 31 12 22 32 13 23 33

A

A A A
P A A A
A A A
   
    
   
    



3 Cách tính ma trận nghịch đảo a. Sử dụng phần phụ đại số

Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì P .A A det A  A 

trong đó, PA là ma trận phụ hợp của ma trận A.



Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả nghịch là detA ≠0. Khi đó,

1 1 A det A PA

 



Ví dụ:

1

28 29 12

1

14 5 6

38

6 13 8

A 

   

    

 

 



Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:

2 6

1 4

A

 

  

 

det( ) 2 A 

4 6

1 2

  

 

 

1 2

1 4 6 2 3

2 1 2 1

     

    

   

PA 

A  1 



Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 5 1 1 2 5 2 5 1 2 det 1 2 1 2

        A    A A      

Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2

A

a b d b
A P
c d c a
    
      
   



Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:

1 2 3

0 1 4

1 2 2

 

  

 

 

A



 Lời giải:

 

1 2 3 1 0 0 | 0 1 4 0 1 0 1 2 2 0 0 1

        

A E 3 ( 1) 1

1 2 3 1 0 0 0 1 4 0 1 0 0 0 1 1 0 1

 

         

h h

2 3 1 3

4 3

1 2 0 2 0 3 0 1 0 4 1 4 0 0 1 1 0 1

 

           

h h h h 12

( 2)

1 0 0 6 2 5 0 1 0 4 1 4 0 0 1 1 0 1

 

            

h h

3 ( 1)

1 0 0 6 2 5 0 1 0 4 1 4 0 0 1 1 0 1

 

           

h  A 1