Bài 3
1
AX B A BX
.( 0 )
11
b a b a
a a
b
x
AX B X A B 1.
Xét phương trình: a x = b.
Ta có:
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có
như vậy là ma trận sẽ được định nghĩa như thế nào?
A 1
3 Định nghĩa.
a. Đ/n: Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho
Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A-1.
Như vậy, A-1 = A-1A=En
AB=BA=En
Nhận xét: (1) Ma trận đơn vị En khả nghịch và
(En)-1=En
(2) Ma trận không không khả nghịch vì
_._ A A_. ,_ A
b. Tính chất: Cho A, B là các ma trận khả nghịch và một số k≠0. Khi đó, AB, kA và A-1 là các ma trận khả nghịch và
1 1 1
11
1 1
i) 1 (ii)
(iii) ( )
( AB B A
kA A k A A
c. Ma trận phụ hợp Cho là ma trận vuông cấp n. Ma trận phụ hợp của A, kí hiệu là PA ,được định nghĩa như sau:
A a [ ]ij
11 21 1 12 22 2
1 2
…
…
… … … …
…
n n A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A
trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử a ij của ma trận A.
Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
2 0 0
5 1 0
3 4 1
A
A 11 –
A 12 5
A 13 17
A 21 0
A 22 –
A 23 –
A 31 0
A 32 0
A 33 2
11 21 31 12 22 32 13 23 33
A
A A A
P A A A
A A A
3 Cách tính ma trận nghịch đảo a. Sử dụng phần phụ đại số
Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì P .A A det A A
trong đó, PA là ma trận phụ hợp của ma trận A.
Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả nghịch là detA ≠0. Khi đó,
1 1 A det A PA
Ví dụ:
1
28 29 12
1
14 5 6
38
6 13 8
A
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:
2 6
1 4
A
det( ) 2 A
4 6
1 2
1 2
1 4 6 2 3
2 1 2 1
PA
A 1
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 5 1 1 2 5 2 5 1 2 det 1 2 1 2
A A A
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2
A
a b d b
A P
c d c a
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:
1 2 3
0 1 4
1 2 2
A
Lời giải:
1 2 3 1 0 0 | 0 1 4 0 1 0 1 2 2 0 0 1
A E 3 ( 1) 1
1 2 3 1 0 0 0 1 4 0 1 0 0 0 1 1 0 1
h h
2 3 1 3
4 3
1 2 0 2 0 3 0 1 0 4 1 4 0 0 1 1 0 1
h h h h 12
( 2)
1 0 0 6 2 5 0 1 0 4 1 4 0 0 1 1 0 1
h h
3 ( 1)
1 0 0 6 2 5 0 1 0 4 1 4 0 0 1 1 0 1
h A 1